№ 317. В классе поровну юношей и девушек. Средний рост девушек — 166,3 см, а дисперсия роста для девушек — 8,5 см². Средний рост юношей равен 177,6 см, а дисперсия равна 9,6 см². Найдите средний рост и дисперсию роста всех учеников в классе. Средний рост округлите до десятых, а дисперсию до сотых.

Поскольку юношей и девушек поровну, среднее по классу — полусумма средних ростов групп:

\(\overline{x}=(166.3+177.6)/2=171.95\) см.

Округляем до десятых: \(\overline{x}\approx172.0\) см.

Для дисперсии учитываем и разброс внутри каждой группы, и различие между средним ростом группы и общим средним. При равной численности групп:

\(D=(D_1+D_2)/2+((\overline{x}_1-\overline{x})^2+(\overline{x}_2-\overline{x})^2)/2\).

Подставим данные. Отклонения групповых средних от общего среднего равны \(166.3-171.95=-5.65\) см и \(177.6-171.95=5.65\) см.

\(D=(8.5+9.6)/2+((-5.65)^2+5.65^2)/2=9.05+31.9225=40.9725\) см².

Округляем дисперсию до сотых: \(D\approx40.97\) см².

Ответ: средний рост — 172,0 см; дисперсия — 40,97 см².