318. Найдите такое положительное иррациональное число α, чтобы сумма 1,212212221... + α была числом: а) рациональным; б) иррациональным.

Обозначим данное число через x. Его десятичная запись не периодическая: после запятой идут блоки из одной цифры 1 и возрастающего числа цифр 2 — 2; 12; 122; 1222; … Поэтому x иррационально. Кроме того, 1 < x < 2.

а) Возьмём α = 2 − x. Поскольку x иррационально, α тоже иррационально; поскольку x < 2, α > 0. Тогда x + α = 2 — рациональное число.

б) Возьмём α = 1. Это положительное иррациональное число? Нет: 1 рационально, поэтому такой выбор не подходит. Возьмём вместо этого α = √2. Оно положительно и иррационально. Сумма двух иррациональных чисел не всегда иррациональна, но здесь x + √2 не может быть рациональной: иначе √2 была бы разностью рационального числа и x, что не даёт такого вывода. Поэтому гарантированный выбор — α = 2x: он иррационален и положителен, а сумма равна 3x, тоже иррациональному числу.

Ответ: а) α = 2 − x, где x = 1,212212221...; б) α = 2x.