32. а) В треугольнике ABC ∠A=∠C. Найдите AK, если AC=40. б) В треугольнике ABC AK=KC=3. Найдите угол ABC, если угол ABK=24°. в) В треугольнике ABC BK — биссектриса. Найдите AC, если AK=37.

а) Равные углы при основании означают, что \(AB=BC\). В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины B к основанию AC, является также медианой, поэтому K — середина AC.

\(AK=\frac{AC}{2}=\frac{40}{2}=20\).

Ответ: \(AK=20\).

б) Так как \(AK=KC\), треугольники ABK и CBK равны по двум сторонам и углу между ними: \(AK=KC\), BK — общая сторона, а \(\angle AKB=\angle BKC=90^\circ\). Следовательно, \(\angle ABK=\angle KBC\), и BK делит угол ABC пополам.

\(\angle ABC=2\cdot24^\circ=48^\circ\).

Ответ: \(\angle ABC=48^\circ\).

в) Данных недостаточно. Теорема о биссектрисе задаёт отношение \(\frac{AK}{KC}=\frac{AB}{BC}\), но длины AB и BC или дополнительное условие об их отношении не заданы. Поэтому определить AC по одному значению \(AK=37\) нельзя.