32. Раскрывая скобки и используя известные вам свойства операций, докажите тождества: а) A ∩ (A ∪ B) = A; б) A ∪ (A ∩ B) = A; в) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B̅) = A; г) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B̅) = A.

а) Используем распределительный закон и закон идемпотентности:

\(A\cap(A\cup B)=(A\cap A)\cup(A\cap B)=A\cup(A\cap B)=A.\)

б) Раскрываем скобки и применяем закон идемпотентности:

\(A\cup(A\cap B)=(A\cup A)\cap(A\cup B)=A\cap(A\cup B)=A.\)

в) Выносим A за скобки; множество B и его дополнение в совокупности дают универсальное множество U:

\((A\cap B)\cup(A\cap\overline B)=A\cap(B\cup\overline B)=A\cap U=A.\)

г) Применяем распределительный закон и учитываем, что пересечение B с его дополнением пусто:

\((A\cup B)\cap(A\cup\overline B)=A\cup(B\cap\overline B)=A\cup\varnothing=A.\)