32. Точки M и K являются соответственно серединами сторон AB и BC треугольника ABC. Через вершину C проведена прямая, параллельная AB и пересекающая луч MK в точке E. Докажите, что KE равен половине AC.

Поскольку M и K — середины сторон AB и BC, отрезок MK является средней линией треугольника ABC. Следовательно, \(MK\parallel AC\) и \(MK=\frac12 AC\).

По условию \(CE\parallel AB\), а \(AE\) здесь не рассматривается; поскольку \(M\) и \(B\,\) лежат на прямой AB, получаем \(BM\parallel CE\). Также \(MK\parallel AC\), а точки K и C лежат на BC. Поэтому четырёхугольник MKEC — параллелограмм: его противоположные стороны параллельны.

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит \(KE=MC\). Так как M — середина AB, однако это не даёт непосредственно \(MC=\frac12 AC\); корректнее рассмотреть векторы: положим \(A=0\), \(B=b\), \(C=c\). Тогда \(M=\frac b2\), \(K=\frac{b+c}{2}\). Луч MK имеет направление \(c\), а точка E на этом луче и на прямой через C, параллельной AB, получается при \(E=\frac b2+c\). Следовательно, \(\overrightarrow{KE}=\frac c2\), откуда \(KE=\frac12 AC\).

Что и требовалось доказать.