32. В квадрате ABCD со стороной 1 точка E — середина BC, F — основание перпендикуляра, опущенного из вершины A на DE. Найдите длину EF.

Введём координаты: \(A(0,0)\), \(B(1,0)\), \(C(1,1)\), \(D(0,1)\).

Так как \(E\) — середина \(BC\), то \(E(1,\frac12)\).

Направляющий вектор прямой \(DE\): \(\mathbf v=(1,-\frac12)\). Пусть \(F=D+t\mathbf v\). Условие перпендикулярности \(AF\perp DE\) даёт:

\[(F-A)\cdot\mathbf v=0.\]

Подставим \(F=(t,1-\frac t2)\):

\[t-\frac12\left(1-\frac t2\right)=0,\qquad \frac54t=\frac12,\qquad t=\frac25.\]

Следовательно, \(F(\frac25,\frac45)\). Тогда

\[EF=\sqrt{\left(1-\frac25\right)^2+\left(\frac12-\frac45\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{9}{100}}=\sqrt{\frac{45}{100}}=\frac{3\sqrt5}{10}.\]

Ответ: \(EF=\frac{3\sqrt5}{10}\).