32. В параллелограмме ABCD отмечены точка O — середина диагонали BD — и точки P и T такие, что PO = OT = AO = OC. Докажите, что ∠APC + ∠ATC = 180°. Заполните доказательство: «Проведём диагональ ____ (выполните построение). По условию четырёхугольник ABCD ____, точка O — ____ диагонали BD, следовательно, точка O является и ____ диагонали AC. Таким образом, диагонали ____ и PT четырёхугольника APCT точкой O делятся ____, значит, четырёхугольник APCT — ____. В параллелограмме APCT PT = PO + ____ = ____ + OC = ____, т. е. его диагонали ____, поэтому он является ____. Значит, ∠APC = ∠ATC = ____°. Итак, ∠APC + ∠ATC = ____, что и требовалось доказать.»

Проведём диагональ AC.

По условию четырёхугольник ABCD параллелограмм, точка O — середина диагонали BD, следовательно, точка O является и серединой диагонали AC, поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Диагонали AC и PT четырёхугольника APCT точкой O делятся пополам, значит, четырёхугольник APCT — параллелограмм.

В параллелограмме APCT диагональ PT равна PO + OT = AO + OC = AC, т. е. его диагонали равны, поэтому он является прямоугольником. Каждый угол прямоугольника прямой, поэтому ∠APC = ∠ATC = 90°.

Итак, ∠APC + ∠ATC = 180°.