32. В параллелограмме ABCD отмечены точки O — середина диагонали BD — и точки P и T так, что OT = AO = OC. Докажите, что ∠APC + ∠ATC = 180°.

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — середина и диагонали AC, и диагонали BD. Следовательно, AO = OC = OB = OD.

По условию OT = AO = OC. Значит, O — середина отрезка AT, а также середина отрезка PC: в четырёхугольнике APCT диагонали AC и PT пересекаются в O и делятся пополам. Следовательно, APCT — параллелограмм.

В параллелограмме соседние углы supplementary (в сумме дают 180°), поэтому ∠APC + ∠ATC = 180°.

Ответ: ∠APC + ∠ATC = 180°.