320 В тетраэдре ABCD точки М, № и К - середины ребер АС, ВС и CD соответственно, АВ = 3 см, ВС = 4 см, BD = 5 см. Найдите длины векторов: a) AB, BC, BD, NM, BN, NK; 6) CB, BA, DB, NC, KN.

Решение:

Векторы NM, BN и NK являются векторами средних линий треугольников, соответственно, ABC, BCD и ACD. Длина вектора средней линии треугольника равна половине длины параллельной ей стороны.

1. Находим длины заданных векторов:

• \( |\vec{AB}| = 3 \) см
• \( |\vec{BC}| = 4 \) см
• \( |\vec{BD}| = 5 \) см

2. Находим длины векторов NM, BN, NK:

• a) NM: Точки N и M — середины ребер BC и AC. Следовательно, NM — средняя линия треугольника ABC.
• \( |\vec{NM}| = \frac{1}{2} |\vec{AB}| = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5 \) см.
• b) BN: Точки B и N — середины ребер BC и CD. Следовательно, BN — средняя линия треугольника BCD.
• \( |\vec{BN}| = \frac{1}{2} |\vec{BD}| = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5 \) см.
• c) NK: Точки N и K — середины ребер BC и CD. Следовательно, NK — средняя линия треугольника BCD.
• \( |\vec{NK}| = \frac{1}{2} |\vec{BD}| = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5 \) см.

3. Находим длины векторов CB, BA, DB, NC, KN:

• \( |\vec{CB}| = |-\vec{BC}| = |\vec{BC}| = 4 \) см
• \( |\vec{BA}| = |-\vec{AB}| = |\vec{AB}| = 3 \) см
• \( |\vec{DB}| = |-\vec{BD}| = |\vec{BD}| = 5 \) см
• NC: Точки N и C — середины ребер BC и CD. Следовательно, NC — средняя линия треугольника BCD.
• \( |\vec{NC}| = \frac{1}{2} |\vec{BD}| = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5 \) см.
• KN: Точки K и N — середины ребер CD и BC. Следовательно, KN — средняя линия треугольника BCD.
• \( |\vec{KN}| = \frac{1}{2} |\vec{BD}| = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5 \) см.

Ответ:

• а) \( |\vec{AB}| = 3 \) см, \( |\vec{BC}| = 4 \) см, \( |\vec{BD}| = 5 \) см, \( |\vec{NM}| = 1.5 \) см, \( |\vec{BN}| = 2.5 \) см, \( |\vec{NK}| = 2.5 \) см.
• б) \( |\vec{CB}| = 4 \) см, \( |\vec{BA}| = 3 \) см, \( |\vec{DB}| = 5 \) см, \( |\vec{NC}| = 2.5 \) см, \( |\vec{KN}| = 2.5 \) см.