324. а) Докажите, что √(5⁸) = 5⁴; √(3²⁰) = 3¹⁰. б) Докажите свойство: √(a²ⁿ) = aⁿ, где a ≥ 0.

а) По определению арифметического квадратного корня достаточно проверить, что правая часть неотрицательна и её квадрат равен подкоренному числу.

1. 5⁴ ≥ 0, и (5⁴)² = 5⁸. Следовательно, √(5⁸) = 5⁴.
2. 3¹⁰ ≥ 0, и (3¹⁰)² = 3²⁰. Следовательно, √(3²⁰) = 3¹⁰.

б) Так как a ≥ 0, то aⁿ ≥ 0. Кроме того, (aⁿ)² = a²ⁿ. Значит, aⁿ — неотрицательное число, квадрат которого равен a²ⁿ. По определению арифметического квадратного корня √(a²ⁿ) = aⁿ.