324. Отметьте на координатной плоскости точки А (4; 7), В(-8; 9), C(-12; — 1) и D (2; -6). Проведите прямые АС и BD. Найдите координаты точки пересечения: а) прямых АС и BD; б) прямой АС с осью абсцисс; в) прямой BD с осью ординат.

Решение:

Запишем координаты заданных точек:

• \( A(4; 7) \)
• \( B(-8; 9) \)
• \( C(-12; -1) \)
• \( D(2; -6) \)

а) Найдем координаты точки пересечения прямых АС и BD.

Для этого найдем уравнения прямых АС и BD.

Уравнение прямой АС:

Найдём угловой коэффициент \( k_{AC} \):

\[ k_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{-1 - 7}{-12 - 4} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2} \]

Уравнение прямой АС имеет вид \( y - y_A = k_{AC}(x - x_A) \):

\[ y - 7 = \frac{1}{2}(x - 4) \]\[ 2(y - 7) = x - 4 \]\[ 2y - 14 = x - 4 \]\[ x - 2y + 10 = 0 \]

Уравнение прямой BD:

Найдём угловой коэффициент \( k_{BD} \):

\[ k_{BD} = \frac{y_D - y_B}{x_D - x_B} = \frac{-6 - 9}{2 - (-8)} = \frac{-15}{10} = -\frac{3}{2} \]

Уравнение прямой BD имеет вид \( y - y_B = k_{BD}(x - x_B) \):

\[ y - 9 = -\frac{3}{2}(x - (-8)) \]\[ 2(y - 9) = -3(x + 8) \]\[ 2y - 18 = -3x - 24 \]\[ 3x + 2y + 6 = 0 \]

Теперь найдем точку пересечения прямых АС и BD, решив систему уравнений:

\[ \begin{cases} x - 2y + 10 = 0 \\ 3x + 2y + 6 = 0 \end{cases} \]

Сложим уравнения:

\[ (x - 2y + 10) + (3x + 2y + 6) = 0 \]\[ 4x + 16 = 0 \]\[ 4x = -16 \]\[ x = -4 \]

Подставим \( x = -4 \) в первое уравнение:

\[ -4 - 2y + 10 = 0 \]\[ 6 - 2y = 0 \]\[ 2y = 6 \]\[ y = 3 \]

Координаты точки пересечения прямых АС и BD: \( (-4; 3) \).

б) Найдем координаты точки пересечения прямой АС с осью абсцисс (осью X).

На оси абсцисс \( y = 0 \). Подставим \( y = 0 \) в уравнение прямой АС: \( x - 2y + 10 = 0 \)

\[ x - 2(0) + 10 = 0 \]\[ x + 10 = 0 \]\[ x = -10 \]

Координаты точки пересечения прямой АС с осью абсцисс: \( (-10; 0) \).

в) Найдем координаты точки пересечения прямой BD с осью ординат (осью Y).

На оси ординат \( x = 0 \). Подставим \( x = 0 \) в уравнение прямой BD: \( 3x + 2y + 6 = 0 \)

\[ 3(0) + 2y + 6 = 0 \]\[ 2y + 6 = 0 \]\[ 2y = -6 \]\[ y = -3 \]

Координаты точки пересечения прямой BD с осью ординат: \( (0; -3) \).

Ответ: а) \( (-4; 3) \); б) \( (-10; 0) \); в) \( (0; -3) \).