327 На рисунке 104 изображен параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: а) AB + A₁D₁; б) AB + AD₁; в) DA + B₁B; г) DD₁ + DB; д) DB₁ + BC.

Решение:

Для решения задачи нам нужно вспомнить свойства параллелепипеда и правила сложения векторов.

В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁:

• Противоположные грани параллельны и равны.
• Ребра, параллельные друг другу, равны.
• Векторы, соответствующие равным и параллельным отрезкам, равны.

Рассмотрим каждую сумму векторов:

1. а) AB + A₁D₁

Вектор A₁D₁ равен вектору AB (так как ABCD — основание параллелепипеда, и AD параллельно BC, A₁D₁ параллельно B₁C₁). Также вектор AA₁ равен вектору DD₁ и BB₁.

Поэтому, A₁D₁ = BC. Вектор AA₁ = BB₁. Вектор AB + A₁D₁ = AB + BC. Для сложения этих векторов по правилу треугольника, нужно чтобы конец первого вектора совпадал с началом второго. В данном случае, конец вектора AB (точка B) не совпадает с началом вектора A₁D₁ (точка A₁).

Однако, если мы заменим A₁D₁ на равный ему вектор BC, то получим AB + BC. По правилу треугольника (если конец первого вектора совпадает с началом второго), сумма AB + BC равна вектору AC.

Вектор AB + A₁D₁ = AB + BC = AC.

2. б) AB + AD₁

Здесь сложение векторов AB и AD₁ по правилу параллелограмма (если векторы выходят из одной точки) дает вектор, равный диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах. Если мы рассматриваем вершину A, то векторы AB и AD₁ выходят из неё. В этом случае, сумма AB + AD₁ равна вектору, который является диагональю параллелограмма, построенного на векторах AB и AD₁. В контексте параллелепипеда, это вектор AC₁.

3. в) DA + B₁B

Вектор DA равен вектору CB (так как ABCD — параллелограмм). Вектор B₁B равен вектору AA₁ (так как ABB₁A₁ — боковая грань параллелепипеда).

Таким образом, DA + B₁B = CB + AA₁. По правилу треугольника, для сложения этих векторов, начало второго вектора должно совпадать с концом первого. Этого нет.

Но если мы заменим DA на -AD и B₁B на -BB₁, то получим -AD - BB₁.

Рассмотрим векторы DA и B₁B. Вектор DA = -AD. Вектор B₁B = AA₁. Тогда DA + B₁B = -AD + AA₁ = AA₁ - AD. По правилу вычитания векторов, AA₁ - AD = DD₁.

Если же мы запишем DA + B₁B как DA + AA₁, то получим DN, где N — такая точка, что AANB — параллелограмм. Однако, B₁B = AA₁.

DA + B₁B = DA + AA₁. По правилу сложения векторов (правило параллелограмма, если векторы выходят из одной точки), или по правилу треугольника, если их расположить последовательно. Если из точки D провести вектор, равный B₁B (то есть AA₁), то получим вектор DB₁.

4. г) DD₁ + DB

Вектор DD₁ направлен вверх. Вектор DB — диагональ грани ABCD. Их сумма по правилу треугольника (если конец первого совпадает с началом второго) невозможна напрямую.

Однако, вектор DD₁ = AA₁. Вектор DB. Рассмотрим вектор DB + DD₁. Эти векторы не выходят из одной точки.

Если мы рассмотрим вектор DB + DD₁, где DD₁ = CC₁, то получим DB + CC₁. Это не даст простого вектора.

Если мы рассмотрим вектор DB + DD₁, то можем переписать DD₁ как AA₁. Тогда DB + AA₁. Не выходят из одной точки.

Давайте рассмотрим вектор DB. Он лежит в плоскости основания. Вектор DD₁ перпендикулярен этой плоскости.

Вектор DB + DD₁ = DA₁ (по правилу сложения векторов, если представить, что из D выходит вектор, равный DD₁).

5. д) DB₁ + BC

Вектор DB₁ — это диагональ параллелепипеда. Вектор BC лежит в основании. Они не выходят из одной точки.

Однако, вектор BC = AD. Тогда DB₁ + AD. Если мы заменим DB₁ на векторы, из которых он состоит, например, DA + AB + BB₁.

Рассмотрим сумму DB₁ + BC. Мы знаем, что BC = AD. Тогда DB₁ + AD. Чтобы сложить эти векторы по правилу треугольника, конец первого должен совпадать с началом второго. Этого не происходит.

Попробуем заменить BC на AD. Получим DB₁ + AD. Можно перенести вектор AD так, чтобы он начинался из D. Тогда DB₁ + DD₁. Это даст вектор DA₁.

Ответ: а) AC; б) AC₁; в) DB₁; г) DA₁; д) DA₁.