329. Сторона АВ треугольника АВС равна √2. Противолежащий ей угол C равен 135°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

Для треугольника ABC, вписанного в окружность, по теореме синусов справедливо соотношение:

\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \)

Где \( a, b, c \) — стороны треугольника, \( A, B, C \) — противолежащие углы, а \( R \) — радиус описанной окружности.

В данном задании нам известна сторона \( AB \) (обозначим её \( c \)), которая равна \( \sqrt{2} \), и противолежащий ей угол \( C \), который равен \( 135^{\circ} \).

Нам нужно найти радиус описанной окружности \( R \).

Используем часть теоремы синусов, связывающую сторону \( c \), угол \( C \) и радиус \( R \):

\( \frac{c}{\sin C} = 2R \)

Подставим известные значения:

\( \frac{\sqrt{2}}{\sin 135^{\circ}} = 2R \)

Значение \( \sin 135^{\circ} \) равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).

\( \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R \)

Упростим выражение:

\( \sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 2R \)

\( 2 = 2R \)

Разделим обе части на 2, чтобы найти \( R \):

\( R = 1 \)

Ответ: 1.