33.14. a) 16x^4 - 40x^2 + 9 = 0; 6) 4x^4 + 35x^2 - 9 = 0; в) 4x^4 + 13x^2 + 9 = 0;

Пояснение:

Эти уравнения являются биквадратными. Их можно решить, сделав замену переменной: пусть $$y = x^2$$. Тогда каждое уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $$y$$.

Решение:

• а) 16x⁴ - 40x² + 9 = 0
  Замена: $$y = x^2$$. Уравнение принимает вид: $$16y^2 - 40y + 9 = 0$$.
  Найдем дискриминант: $$D = (-40)^2 - 4 · 16 · 9 = 1600 - 576 = 1024$$.
  Найдем корни $$y$$: $$y_{1,2} = rac{40 ± √{1024}}{2 · 16} = rac{40 ± 32}{32}$$.
  $$y_1 = rac{40 + 32}{32} = rac{72}{32} = rac{9}{4}$$.
  $$y_2 = rac{40 - 32}{32} = rac{8}{32} = rac{1}{4}$$.
  Теперь вернемся к замене $$x^2 = y$$:
  $$x^2 = rac{9}{4} ⇒ x = ±√{rac{9}{4}} = ±rac{3}{2}$$.
  $$x^2 = rac{1}{4} ⇒ x = ±√{rac{1}{4}} = ±rac{1}{2}$$.
  Ответ: $$x = ±rac{3}{2}, x = ±rac{1}{2}$$.
• б) 4x⁴ + 35x² - 9 = 0
  Замена: $$y = x^2$$. Уравнение принимает вид: $$4y^2 + 35y - 9 = 0$$.
  Найдем дискриминант: $$D = 35^2 - 4 · 4 · (-9) = 1225 + 144 = 1369$$.
  Найдем корни $$y$$: $$y_{1,2} = rac{-35 ± √{1369}}{2 · 4} = rac{-35 ± 37}{8}$$.
  $$y_1 = rac{-35 + 37}{8} = rac{2}{8} = rac{1}{4}$$.
  $$y_2 = rac{-35 - 37}{8} = rac{-72}{8} = -9$$.
  Теперь вернемся к замене $$x^2 = y$$:
  $$x^2 = rac{1}{4} ⇒ x = ±√{rac{1}{4}} = ±rac{1}{2}$$.
  $$x^2 = -9$$ — действительных корней нет.
  Ответ: $$x = ±rac{1}{2}$$.
• в) 4x⁴ + 13x² + 9 = 0
  Замена: $$y = x^2$$. Уравнение принимает вид: $$4y^2 + 13y + 9 = 0$$.
  Найдем дискриминант: $$D = 13^2 - 4 · 4 · 9 = 169 - 144 = 25$$.
  Найдем корни $$y$$: $$y_{1,2} = rac{-13 ± √{25}}{2 · 4} = rac{-13 ± 5}{8}$$.
  $$y_1 = rac{-13 + 5}{8} = rac{-8}{8} = -1$$.
  $$y_2 = rac{-13 - 5}{8} = rac{-18}{8} = -rac{9}{4}$$.
  Теперь вернемся к замене $$x^2 = y$$:
  $$x^2 = -1$$ — действительных корней нет.
  $$x^2 = -rac{9}{4}$$ — действительных корней нет.
  Ответ: Действительных корней нет.