33. Медиана треугольника равна одной стороне, к которой проведена. Докажите, что треугольник прямоугольный. Доказательство: 1) Продолжим медиану и отложим на луче CM отрезок MK, равный медиане CM; проведём KA и KB (выполните построения). 2) Четырёхугольник AKBC — [пропуск], так как диагонали [пропуск] и CK точкой M делятся [пропуск] ([пропуск] параллелограмма). 3) Параллелограмм AKBC является [пропуск] (признак прямоугольника). Следовательно, AB и [пропуск] равны ([пропуск] прямоугольника), а так как AB и [пропуск] равны, то и треугольник ABC — [пропуск].

В условии, по-видимому, имеется в виду, что медиана CM равна стороне AB, к которой она проведена. Тогда M — середина AB, а по построению M — середина CK. Диагонали AB и CK четырёхугольника AKBC пересекаются и делятся пополам.

1) Продлим медиану за точку M и построим точку K так, чтобы MK = CM. Проведём отрезки KA и KB.

2) Четырёхугольник AKBC — параллелограмм, так как диагонали AB и CK точкой M делятся пополам (признак параллелограмма).

3) В параллелограмме AKBC стороны AC и BK равны, а по построению медианы CM = AB. Поэтому диагонали AB и CK параллелограмма равны: AB = CK, поскольку CK = 2CM, а AB = CM в исходной формулировке не согласуется с этим выводом. Для доказательства прямоугольности из условия CM = AB корректно рассуждать иначе: в параллелограмме AKBC диагональ CK = 2CM = 2AB, так что равенство диагоналей не следует. Следовательно, данное условие или распознанный текст содержит ошибку: чтобы приведённое построение доказывало прямоугольность, должно быть CM = AB/2, то есть медиана равна половине стороны AB.

Если в исходном задании действительно сказано «медиана равна стороне», утверждение вообще неверно: например, при AB = CM возможен равнобедренный треугольник ABC с M — серединой AB и углом C, не равным 90°.

Ответ: в задании, вероятно, пропущено слово «половине»; с условием CM = AB/2 доказательство приводит к прямоугольному треугольнику. При буквальном условии CM = AB утверждение неверно.