33. Медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена. Докажите, что треугольник прямоугольный.

Пусть CM — медиана треугольника ABC, проведённая к стороне AB. Тогда M — середина AB, а по условию CM = AB/2.

1. Продолжим медиану CM и отложим на луче CM отрезок MK, равный медиане CM; проведём KA и KB.
2. В четырёхугольнике AKBC диагонали AB и CK пересекаются в точке M. Так как M — середина AB, а CM = MK, то M — также середина CK. Следовательно, диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, поэтому AKBC — параллелограмм.
3. CK = CM + MK = 2CM = AB. Значит, диагонали параллелограмма AKBC равны, поэтому он является прямоугольником.
4. У прямоугольника угол C прямой. Следовательно, ∠ACB = 90°, и треугольник ABC прямоугольный.