33. Медиана треугольника равна половине стороны, к которой проведена. Докажите, что треугольник прямоугольный. Доказательство: 1) Продолжим медиану и отложим на луче CM отрезок MK, равный медиане CM; проведём отрезки KA и KB (выполните построения). 2) Четырёхугольник AKBC — ________, так как диагонали AB и CK точкой M делятся ________ (________ параллелограмма). 3) Параллелограмм AKBC является ________, так как его диагонали AB и CK равны (________ прямоугольника). Следовательно, ∠C = ______° , т. е. треугольник ABC ________, что и требовалось доказать.

1) Построение. Так как CM — медиана, M — середина AB. На луче CM за точкой M отмечаем K так, чтобы MK = CM, и соединяем K с A и B.

2) В четырёхугольнике AKBC диагонали AB и CK пересекаются в M. Поскольку M — середина AB, AM = MB. По построению CM = MK, следовательно, M — середина CK. Значит, диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому AKBC — параллелограмм (признак параллелограмма).

3) По условию медиана CM равна половине стороны AB: CM = AB/2. По построению MK = CM, поэтому CK = CM + MK = 2CM = AB. Диагонали параллелограмма AKBC равны, следовательно, AKBC — прямоугольник (признак прямоугольника). Тогда ∠C = 90°, и треугольник ABC прямоугольный.

Заполненные пропуски: параллелограмм; пополам; признак; прямоугольником; признак; 90; прямоугольный.