33. Сократите дробь: a) rac{a^2-ab+b^2}{a^3+b^3}; б) rac{a^3-b^3}{a-b}; в) rac{(a+b)^3}{a^3+b^3}; г) rac{a^3-b^3}{a^2-b^2}.

Решение:

• а) \[ \frac{a^2-ab+b^2}{a^3+b^3} = \frac{a^2-ab+b^2}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} = \frac{1}{a+b} \]
• б) \[ \frac{a^3-b^3}{a-b} = \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a-b} = a^2+ab+b^2 \]
• в) \[ \frac{(a+b)^3}{a^3+b^3} = \frac{(a+b)^3}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} = \frac{(a+b)^2}{a^2-ab+b^2} = \frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-ab+b^2} \]
• г) \[ \frac{a^3-b^3}{a^2-b^2} = \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab+b^2}{a+b} \]

Ответ:

• а) rac{1}{a+b}
• б) a^2+ab+b^2
• в) rac{a^2+2ab+b^2}{a^2-ab+b^2}
• г) rac{a^2+ab+b^2}{a+b}