33. В прямоугольном треугольнике QNL вписана окружность. Точки касания делят гипотенузу QL на отрезки 4 и 6. Найдите NL.

Обозначим через x длину касательных от вершины N к окружности.

1. Из свойства касательных, проведённых из одной точки, получаем: отрезок от Q до точки касания на стороне QN равен 4, а отрезок от L до точки касания на стороне LN равен 6.
2. Тогда катеты треугольника равны:
   \(QN=x+4\), \(NL=x+6\).
3. Гипотенуза: \(QL=4+6=10\).
4. По теореме Пифагора: \((x+4)^2+(x+6)^2=10^2\).
5. Раскрываем скобки: \(x^2+8x+16+x^2+12x+36=100\), откуда \(2x^2+20x-48=0\).
6. После деления на 2: \(x^2+10x-24=0\). Положительный корень: \(x=2\).
7. Следовательно, \(NL=x+6=2+6=8\).

Ответ: \(NL=8\).