334. Вычислите значение выражения: а) \(\dfrac{1{,}7^{10}\cdot1{,}7^5}{(1{,}7^4)^4}\); б) \(\dfrac{(-3{,}1)^4\cdot(3{,}1^3)^3}{(-3{,}1^2)^6}\); в) \(\dfrac{(32^2)^2\cdot4^5}{(-16)^8}\); г) \(\left(\dfrac{3^{13}}{5^{13}}\right)\cdot\dfrac{25^6}{27^4}\); д) \(\dfrac{3^6\cdot2^7}{36^3}\); е) \(\dfrac{21^5}{9^3\cdot7^4}\).

а) При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываем, а при возведении степени в степень — перемножаем:

\(\dfrac{1{,}7^{10}\cdot1{,}7^5}{(1{,}7^4)^4}=1{,}7^{10+5-16}=1{,}7^{-1}=\dfrac{10}{17}\).

б) В знаменателе \((-3{,}1^2)^6=(-(3{,}1)^2)^6=3{,}1^{12}\):

\(\dfrac{(-3{,}1)^4\cdot(3{,}1^3)^3}{(-3{,}1^2)^6}=\dfrac{3{,}1^4\cdot3{,}1^9}{3{,}1^{12}}=3{,}1\).

в) Представим числа степенями двойки; поскольку степень чётная, \((-16)^8=16^8\):

\(\dfrac{(32^2)^2\cdot4^5}{(-16)^8}=\dfrac{2^{20}\cdot2^{10}}{2^{32}}=2^{-2}=\dfrac14\).

г) Заменим степени составных чисел степенями простых оснований:

\(\left(\dfrac{3^{13}}{5^{13}}\right)\cdot\dfrac{25^6}{27^4}=\dfrac{3^{13}}{5^{13}}\cdot\dfrac{5^{12}}{3^{12}}=\dfrac35\).

д) Так как \(36^3=2^6\cdot3^6\), сокращаем одинаковые степени:

\(\dfrac{3^6\cdot2^7}{36^3}=\dfrac{3^6\cdot2^7}{3^6\cdot2^6}=2\).

е) Представим \(21=3\cdot7\), \(9=3^2\):

\(\dfrac{21^5}{9^3\cdot7^4}=\dfrac{3^5\cdot7^5}{3^6\cdot7^4}=\dfrac73\).

Ответ: а) \(\dfrac{10}{17}\); б) \(3{,}1\); в) \(\dfrac14\); г) \(\dfrac35\); д) \(2\); е) \(\dfrac73\).