335. При каком натуральном значении x выполняется равенство: а) 3^(2x)/4^x = 2,25; б) (2^(3x−1) · 16)/4^x = 64; в) (3^(x+1) · 9^x)/27 = 3; г) (5^x · 25^x)/125^x = 5^(x−1)?

а) Преобразуем левую часть: \(\dfrac{3^{2x}}{4^x}=\left(\dfrac{9}{4}\right)^x\). Так как \(2{,}25=\dfrac94\), получаем \(\left(\dfrac94\right)^x=\dfrac94\), откуда \(x=1\).

б) Запишем все числа как степени двойки: \(16=2^4\), \(4^x=2^{2x}\), \(64=2^6\). Тогда \(\dfrac{2^{3x-1}\cdot 16}{4^x}=2^{3x-1+4-2x}=2^{x+3}\). Следовательно, \(2^{x+3}=2^6\), значит, \(x=3\).

в) Представим \(9^x=3^{2x}\), \(27=3^3\). Тогда \(\dfrac{3^{x+1}\cdot 9^x}{27}=3^{x+1+2x-3}=3^{3x-2}\). Получаем \(3^{3x-2}=3^1\), поэтому \(3x-2=1\) и \(x=1\).

г) Представим \(25^x=5^{2x}\), \(125^x=5^{3x}\). Левая часть равна \(5^{x+2x-3x}=1\). Значит, требуется \(1=5^{x-1}\), откуда \(x-1=0\) и \(x=1\).

Ответ: а) 1; б) 3; в) 1; г) 1.