337. Решить уравнения: 1) $\log_2(x-5)+\log_2(x+2)=3$; 2) $\log_3(x-2)+\log_8(x+6)=2$; 3) $\lg(x+\sqrt3)+\lg(x-\sqrt3)=0$; 4) $\lg(x-1)+\lg(x+1)=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 337. Решить уравнения: 1) $\log_2(x-5)+\log_2(x+2)=3$; 2) $\log_3(x-2)+\log_8(x+6)=2$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

ОДЗ: $x>5$. По свойству логарифмов: $\log_2((x-5)(x+2))=3$, поэтому $(x-5)(x+2)=8$. Получаем $x^2-3x-18=0$, откуда $x=6$ или $x=-3$. ОДЗ удовлетворяет только $x=6$.
ОДЗ: $x>2$. Рассмотрим функцию $f(x)=\log_3(x-2)+\log_8(x+6)$. Она строго возрастает при $x>2$, поскольку оба слагаемых строго возрастают. При $x=5$: $f(5)=\log_3 3+\log_8 11=1+\log_8 11>2$. Следовательно, при всех $x>2$ имеем $f(x)>2$, и решений нет.
ОДЗ: $x>\sqrt3$. Объединяем логарифмы: $\lg((x+\sqrt3)(x-\sqrt3))=0$, значит $x^2-3=1$. Тогда $x^2=4$, откуда с учётом ОДЗ $x=2$.
ОДЗ: $x>1$. Объединяем логарифмы: $\lg((x-1)(x+1))=0$, значит $x^2-1=1$, то есть $x^2=2$. С учётом ОДЗ получаем $x=\sqrt2$.

Ответ: 1) $6$; 2) решений нет; 3) $2$; 4) $\sqrt2$.

337. Решить уравнения: 1) \(\log_2(x-5)+\log_2(x+2)=3\); 2) \(\log_3(x-2)+\log_8(x+6)=2\); 3) \(\lg(x+\sqrt3)+\lg(x-\sqrt3)=0\); 4) \(\lg(x-1)+\lg(x+1)=0\).