34. (15 баллов) Решите неравенство: \(\log_9^2 x \ge \log_3^2\sqrt{1-\frac{x}{4}}\).

ОДЗ: \(x>0\) и \(1-\frac{x}{4}\ge 0\), поэтому \(0

Преобразуем логарифмы:

\[\log_9 x=\frac{1}{2}\log_3 x,\qquad \log_3\sqrt{1-\frac{x}{4}}=\frac{1}{2}\log_3\left(1-\frac{x}{4}\right).\]

Тогда исходное неравенство равносильно

\[\left(\log_3 x\right)^2\ge \left(\log_3\left(1-\frac{x}{4}\right)\right)^2.\]

Следовательно,

\[\left|\log_3 x\right|\ge\left|\log_3\left(1-\frac{x}{4}\right)\right|.\]

Так как функция \(\log_3 t\) возрастает, рассмотрим два случая:

\[\log_3 x\ge \left|\log_3\left(1-\frac{x}{4}\right)\right|\quad\text{или}\quad \log_3 x\le-\left|\log_3\left(1-\frac{x}{4}\right)\right|.\]

Это эквивалентно объединению условий \(x\ge 1-\frac{x}{4}\) и \(x\le \frac{1}{1-x/4}\) при соответствующих знаках. Удобнее использовать свойство \(a^2\ge b^2\iff (a-b)(a+b)\ge0\). После преобразования с учётом монотонности логарифма получаем:

\[x\left(1-\frac{x}{4}\right)\ge 1\quad\text{или}\quad x\left(1-\frac{x}{4}\right)\le 1.\]

Поскольку на \(0

Ответ: \(x\in(0;4]\).