34.38*. Сократите дробь x+√x+y-y-2√xy √x-√y

Решение:

Для сокращения дроби, попробуем преобразовать числитель.

Числитель: \( x + \sqrt{x} + \sqrt{y} - y - 2\sqrt{xy} \)

Перегруппируем члены:

\( (x - 2\sqrt{xy} + y) + \sqrt{x} + \sqrt{y} \)

\( (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 + (\sqrt{x} + \sqrt{y}) \)

Теперь подставим это в дробь:

\( \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 + (\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} \)

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

\( \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} + \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} \)

\( = (\sqrt{x} - \sqrt{y}) + \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} \)

Для дальнейшего упрощения, можно привести к общему знаменателю:

\( \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 + \sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} \)

\( = \frac{x - 2\sqrt{xy} + y + \sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} \)

Если мы предположим, что в числителе была ошибка и должно быть \( x + y - 2\sqrt{xy} \), то:

\( \frac{x + y - 2\sqrt{xy}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \sqrt{x} - \sqrt{y} \).

Но с исходным числителем \( x + \sqrt{x} + \sqrt{y} - y - 2\sqrt{xy} \), приведённый вид \( \sqrt{x} - \sqrt{y} + \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} \) является наиболее простым.

Ответ: \( \sqrt{x} - \sqrt{y} + \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} \).