34. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 255 км, вышел катер. Дойдя до пункта В, он вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение и ответ.

Привет! Давай разберем эту задачку по шагам.

Дано:

• Расстояние между пунктами А и В: S = 255 км
• Скорость течения реки: v_теч = 1 км/ч
• Время возвращения на 2 часа меньше, чем время пути туда.

Найти:

• Собственную скорость катера: v_собств

Решение:

1. Обозначим переменные:
   Пусть v — собственная скорость катера (км/ч).
2. Скорость катера по течению:
   Когда катер плывет по течению (из А в В), его скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения: v_по_теч = v + v_теч = v + 1 (км/ч).
3. Скорость катера против течения:
   Когда катер плывет против течения (из В в А), его скорость равна разности собственной скорости и скорости течения: v_против_теч = v - v_теч = v - 1 (км/ч).
4. Время в пути:
   Время в пути туда (по течению): t_туда = S / v_по_теч = 255 / (v + 1) (часы).
   Время в пути обратно (против течения): t_обратно = S / v_против_теч = 255 / (v - 1) (часы).
5. Связь времен:
   По условию, обратный путь занял на 2 часа меньше, чем путь туда:
   t_обратно = t_туда - 2
   Подставляем выражения для времени:
   255 / (v - 1) = 255 / (v + 1) - 2
6. Решаем уравнение:
   Чтобы избавиться от знаменателей, умножим все на (v - 1)(v + 1) (при этом v > 1, чтобы скорость была положительной):
   \[ 255(v + 1) = 255(v - 1) - 2(v - 1)(v + 1) \]
   \[ 255v + 255 = 255v - 255 - 2(v^2 - 1) \]
   \[ 255v + 255 = 255v - 255 - 2v^2 + 2 \]
   Сокращаем 255v с обеих сторон:
   \[ 255 = -255 - 2v^2 + 2 \]
   \[ 255 = -253 - 2v^2 \]
   Переносим известные числа в одну сторону:
   \[ 255 + 253 = -2v^2 \]
   \[ 508 = -2v^2 \]
   Это выглядит странно, давай перепроверим условие. А, точно! Время обратного пути (против течения) должно быть больше, чем время пути по течению, если скорость меньше. Значит, должно быть t_туда = t_обратно - 2, или t_обратно = t_туда + 2. Давай исправим!
   
   Исправляем уравнение:
   t_обратно = t_туда + 2
   \[ 255 / (v - 1) = 255 / (v + 1) + 2 \]
   Умножаем все на (v - 1)(v + 1):
   \[ 255(v + 1) = 255(v - 1) + 2(v - 1)(v + 1) \]
   \[ 255v + 255 = 255v - 255 + 2(v^2 - 1) \]
   \[ 255v + 255 = 255v - 255 + 2v^2 - 2 \]
   Сокращаем 255v:
   \[ 255 = -255 + 2v^2 - 2 \]
   \[ 255 = -257 + 2v^2 \]
   Переносим известные:
   \[ 255 + 257 = 2v^2 \]
   \[ 512 = 2v^2 \]
   Делим на 2:
   \[ v^2 = 256 \]
   Извлекаем квадратный корень:
   \[ v = \sqrt{256} \]
   \[ v = 16 \]
7. Проверяем условие:
   Собственная скорость катера v = 16 км/ч. Скорость течения 1 км/ч. Собственная скорость больше скорости течения, значит, катер может двигаться против течения.
8. Проверяем время:
   Скорость по течению: 16 + 1 = 17 км/ч.
   Время туда: 255 / 17 = 15 часов.
   Скорость против течения: 16 - 1 = 15 км/ч.
   Время обратно: 255 / 15 = 17 часов.
   Разница во времени: 17 - 15 = 2 часа. Все верно!

Ответ: 16 км/ч