34. Разложите многочлен на множители способом группировки:

Решение:

Для разложения многочлена на множители способом группировки сгруппируем члены многочлена так, чтобы из каждой группы можно было вынести общий множитель, а затем вынесем полученный общий множитель за скобки.

а) \( a^2 + 7a + ab + 7b \)

1. Сгруппируем первые два члена и последние два члена: \( (a^2 + 7a) + (ab + 7b) \)
2. Из первой группы вынесем общий множитель \( a \), из второй группы — \( b \): \( a(a + 7) + b(a + 7) \)
3. Вынесем общий множитель \( (a + 7) \) за скобки: \( (a + 7)(a + b) \)

в) \( 5m - 10n + 2n^2 - mn \)

1. Перепишем многочлен в другом порядке для удобства группировки: \( 5m - mn - 10n + 2n^2 \)
2. Сгруппируем члены: \( (5m - mn) + (-10n + 2n^2) \)
3. Из первой группы вынесем \( m \), из второй группы — \( 2n \) (или \(-2n\), но для удобства последующего вынесения общего множителя, лучше вынести \(2n\) и изменить знаки во второй скобке, или сразу сгруппировать так, чтобы получить одинаковые скобки): \( m(5 - n) + 2n(n - 5) \)
4. Заметим, что \( n - 5 = -(5 - n) \). Поэтому перепишем: \( m(5 - n) - 2n(5 - n) \)
5. Вынесем общий множитель \( (5 - n) \) за скобки: \( (5 - n)(m - 2n) \)

б) \( x^2 - 2x + x - 2 \)

1. Сгруппируем первые два члена и последние два члена: \( (x^2 - 2x) + (x - 2) \)
2. Из первой группы вынесем общий множитель \( x \): \( x(x - 2) + 1(x - 2) \)
3. Вынесем общий множитель \( (x - 2) \) за скобки: \( (x - 2)(x + 1) \)

г) \( 4x^2 - 20xy + 5xy - 25y^2 \)

1. Сгруппируем члены: \( (4x^2 - 20xy) + (5xy - 25y^2) \)
2. Из первой группы вынесем \( 4x \), из второй группы — \( 5y \): \( 4x(x - 5y) + 5y(x - 5y) \)
3. Вынесем общий множитель \( (x - 5y) \) за скобки: \( (x - 5y)(4x + 5y) \)

Ответ: а) \( (a + 7)(a + b) \); в) \( (5 - n)(m - 2n) \); б) \( (x - 2)(x + 1) \); г) \( (x - 5y)(4x + 5y) \).