34. С помощью диаграмм Эйлера — Венна докажите или опровергните равенство: а) Ā ∖ B = B̅ ∖ A; б) (A ∖ B)̅ = (A ∪ B)̅; в) Ā ∖ B = (A ∪ B)̅; г) A ∖ B̅ = (A ∪ B)̅; д) A ∖ B̅ = A ∩ B.

На диаграмме Эйлера—Венна равенство доказывается, если в обеих частях заштрихована одна и та же область.

1. а) \(\overline{A}\setminus B=\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B}\).
   Правая часть: \(\overline{B}\setminus A=\overline{B}\cap\overline{A}=\overline{A\cup B}\).
   Заштрихована одна и та же область — вне множеств \(A\) и \(B\). Равенство верно.
2. б) \(\overline{A\setminus B}=\overline{A\cap\overline{B}}=\overline{A}\cup B\).
   Правая часть равна \(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}\). Эти области различны.
   Контрпример: пусть универсальное множество \(U=\{1\}\), \(A=\varnothing\), \(B=\{1\}\). Тогда \(\overline{A\setminus B}=U\), а \(\overline{A\cup B}=\varnothing\). Равенство неверно.
3. в) \(\overline{A}\setminus B=\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B}\).
   В обеих частях на диаграмме заштрихована область, расположенная вне обоих множеств. Равенство верно.
4. г) \(A\setminus\overline{B}=A\cap B\), а правая часть \(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}\).
   Контрпример: пусть \(U=\{1\}\), \(A=B=\{1\}\). Тогда \(A\setminus\overline{B}=\{1\}\), а \(\overline{A\cup B}=\varnothing\). Равенство неверно.
5. д) \(A\setminus\overline{B}=A\cap B\).
   Вычитание из \(A\) элементов, не принадлежащих \(B\), оставляет элементы, принадлежащие одновременно \(A\) и \(B\). Равенство верно.

Ответ: а) верно; б) неверно; в) верно; г) неверно; д) верно.