34. С помощью диаграмм Эйлера — Венна докажите или опровергните равенство: а) \(\overline{A\setminus B}=\overline B\setminus A\); б) \(\overline{A\setminus B}=\overline A\cup B\); в) \(\overline A\setminus B=\overline{A\cup B}\); г) \(A\setminus\overline B=A\cup\overline B\).

Рассмотрим области диаграмм Венна. В каждой схеме прямоугольник — универсальное множество, два круга — множества \(A\) и \(B\); закрашена область левой части равенства, штриховкой обозначена область правой части. Равенство верно, если области совпадают.

а) Равенство неверно. Левая часть \(\overline{A\setminus B}=\overline A\cup B\), правая часть \(\overline B\setminus A=\overline A\cap\overline B\). Например, элемент из \(B\), не принадлежащий \(A\), входит в левую часть, но не входит в правую.

б) Равенство верно: по закону де Моргана \(\overline{A\setminus B}=\overline{A\cap\overline B}=\overline A\cup B\). Обе части включают всё вне \(A\), а также элементы \(B\).

в) Равенство верно. \(\overline A\setminus B=\overline A\cap\overline B=\overline{A\cup B}\). Обе части — область вне обоих множеств.

г) Равенство неверно. \(A\setminus\overline B=A\cap B\), а правая часть \(A\cup\overline B\) включает, например, элементы вне обоих кругов, которых нет в \(A\cap B\).

Ответ: а) неверно; б) верно; в) верно; г) неверно.