34. С помощью диаграмм Эйлера — Венна докажите или опровергните равенство: а) \(\overline{A}\setminus\overline{B}=\overline{B}\setminus\overline{A}\); б) \(\overline{A\setminus B}=\overline{A}\cup B\); в) \(\overline{A}\setminus\overline{B}=\overline{A\cup B}\); г) \(A\setminus\overline{B}=\overline{A\cup B}\); д) \(A\setminus\overline{B}=\overline{A\cap B}\).

Используем правила: \(X\setminus Y=X\cap\overline{Y}\), а принадлежность объединению соответствует логическому «или».

1. а) Равенство опровергается.

   \(\overline{A}\setminus\overline{B}=\overline{A}\cap B=B\setminus A\), а \(\overline{B}\setminus\overline{A}=\overline{B}\cap A=A\setminus B\). Эти множества в общем случае не равны. Например, при \(A=\{1\}\), \(B=\varnothing\): левая часть равна \(\varnothing\), а правая — \(\{1\}\).

2. б) Равенство верно:

   \[\overline{A\setminus B}=\overline{A\cap\overline{B}}=\overline{A}\cup\overline{\overline{B}}=\overline{A}\cup B.\]

   На диаграмме обе части занимают все области, не принадлежащие одновременно множеству \(A\) и не принадлежащие множеству \(B\).
3. в) Равенство опровергается:

   \[\overline{A}\setminus\overline{B}=\overline{A}\cap B,\qquad \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}.\]

   Например, при \(A=\varnothing\), \(B=\{1\}\), левая часть равна \(\{1\}\), а правая — \(\varnothing\).
4. г) Равенство опровергается:

   \[A\setminus\overline{B}=A\cap B,\qquad \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}.\]

   Например, при \(A=B=\{1\}\) левая часть равна \(\{1\}\), а правая — \(\varnothing\).
5. д) Равенство опровергается:

   \[A\setminus\overline{B}=A\cap B,\qquad \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}.\]

   При \(A=B=\{1\}\) левая часть равна \(\{1\}\), а правая — \(\varnothing\).

Ответ: а), в), г), д) — неверные равенства; б) — верное равенство.