34. Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, точки M, N и P — середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка K лежит на отрезке BN. Вычислите взаимное расположение прямых: а) ND и AB; б) PK и BC; в) MN и AB; г) MP и AC; д) KN и AC; е) MD и BC.

а) В треугольнике DAB точки N и M — середины DB и DA, поэтому MN — средняя линия, параллельная AB. Но прямая ND совпадает с DB; она пересекает AB в точке B. Следовательно, ND и AB пересекаются.

б) В треугольнике DBC точки P и N — середины DC и DB, поэтому PN ∥ BC. Точка K лежит на BN, значит, прямая PK проходит через P и K, но из условия нельзя определить её направление относительно BC: положение K на BN не задано точнее, а если K=N, прямая PK совпадает с PN. При любом K≠N на BN прямая PK пересекает BC или параллельна ей только в зависимости от положения K; в частности, если K=N, она параллельна BC. Уточните, задано ли дополнительное условие о точке K.

в) MN — средняя линия треугольника DAB, поэтому MN ∥ AB.

г) M и P — середины сторон DA и DC треугольника DAC. Следовательно, MP — средняя линия: MP ∥ AC.

д) K и N принадлежат прямой BN, поэтому прямая KN совпадает с BN (если K≠N). Прямые BN и AC лежат в плоскости ABC и пересекаются в точке B? Точка B принадлежит BN, но обычно B не лежит на AC; поскольку BN проходит через B и N, а N не лежит в плоскости ABC, прямые BN и AC скрещиваются. Поэтому KN и AC скрещиваются.

е) MD совпадает с прямой DA. Прямая DA пересекает плоскость ABC только в A, а BC лежит в этой плоскости и A не принадлежит BC. Значит, MD и BC скрещиваются.

Ответ: а) пересекаются; б) однозначно определить нельзя без точного положения K; в) параллельны; г) параллельны; д) скрещиваются (при K≠N); е) скрещиваются.