34. Точка D не лежит в плоскости треугольников ABC, точки M, N и P — середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка K лежит на отрезке BN. Выясните взаимное расположение прямых: а) ND и AB; б) PK и BC; в) MN и AB; г) MP и AC; д) KN и AC; е) MD и BC.

а) ND и AB пересекаются в точке B, поскольку N, D и B лежат на одной прямой.

б) PK и BC лежат в одной плоскости DBC. Если K ≠ N, прямые пересекаются: точка P не лежит на BC, поэтому PK не совпадает с BC; параллельность возможна только при K = N, поскольку P и N — середины DC и DB, и тогда по обратной теореме о средней линии PN ∥ BC. Следовательно, при K = N прямые параллельны, а при K ≠ N — пересекаются.

в) MN — средняя линия треугольника DAB, поэтому MN ∥ AB.

г) MP — средняя линия треугольника DAC, поэтому MP ∥ AC.

д) KN совпадает с прямой DB. Прямые DB и AC — противоположные рёбра тетраэдра DABC: они не пересекаются и не лежат в одной плоскости. Значит, KN и AC скрещиваются.

е) MD совпадает с DA. Прямые DA и BC — противоположные рёбра тетраэдра DABC, поэтому они скрещиваются.

Ответ: а) пересекаются; б) при K = N параллельны, при K ≠ N пересекаются; в) параллельны; г) параллельны; д), е) скрещиваются.