34. В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD, ∠BAC = ∠CAD. Найдите AD, если периметр трапеции равен 20 см, а ∠D = 60°.

Обозначим высоту трапеции через \(h\), а горизонтальную проекцию боковой стороны \(CD\) на основание — через \(x\).

1. Так как \(\angle D=60^\circ\), то в прямоугольном треугольнике, образованном стороной \(CD\), высотой и её проекцией, \(h=\sqrt3x\).
2. Поскольку \(AC\perp CD\), а \(\angle BAC=\angle CAD\), диагональ \(AC\) является биссектрисой угла \(BAD\). Следовательно, \(\angle CAD=30^\circ\), а \(\angle BAC=30^\circ\).
3. Из угла \(CAD=30^\circ\) следует, что горизонтальная проекция \(AC\) равна \(3x\). Тогда горизонтальная проекция \(AB\) равна \(x\), поэтому \(AB=2x\).
4. Получаем длины сторон: \(CD=2x\), \(BC=2x\), \(AB=2x\), \(AD=4x\).
5. По условию периметра: \[2x+2x+2x+4x=20,\qquad 10x=20,\qquad x=2.\]

Следовательно, \[AD=4x=8\text{ см}.\]

Ответ: 8 см.