34. Выполните действия (все переменные — натуральные числа).

Решение:

а)

\( 3 \cdot \frac{a}{6b} \)

Упростим выражение:

1. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: \( \frac{3a}{6b} = \frac{a}{2b} \)

Ответ: \( \frac{a}{2b} \)

б)

\( \frac{3}{a} - \frac{x}{2a} \)

Приведём дроби к общему знаменателю \( 2a \):

1. Первую дробь умножим на 2: \( \frac{3}{a} = \frac{3 \cdot 2}{a \cdot 2} = \frac{6}{2a} \)
2. Вычтем вторую дробь из первой: \( \frac{6}{2a} - \frac{x}{2a} = \frac{6-x}{2a} \)

Ответ: \( \frac{6-x}{2a} \)

в)

\( 2y \cdot \frac{3a}{8b} \)

Умножим выражение:

1. Представим \( 2y \) как дробь \( \frac{2y}{1} \).
2. Умножим числители и знаменатели: \( \frac{2y}{1} \cdot \frac{3a}{8b} = \frac{2y \cdot 3a}{1 \cdot 8b} = \frac{6ya}{8b} \)
3. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: \( \frac{6ya}{8b} = \frac{3ya}{4b} \)

Ответ: \( \frac{3ya}{4b} \)

г)

\( \frac{a}{b} + \frac{c}{2b^2} \)

Приведём дроби к общему знаменателю \( 2b^2 \):

1. Первую дробь умножим на \( 2b \): \( \frac{a}{b} = \frac{a \cdot 2b}{b \cdot 2b} = \frac{2ab}{2b^2} \)
2. Сложим дроби: \( \frac{2ab}{2b^2} + \frac{c}{2b^2} = \frac{2ab+c}{2b^2} \)

Ответ: \( \frac{2ab+c}{2b^2} \)

д)

\( \frac{5}{6a^2} \cdot \frac{4a}{15b} \)

Умножим дроби:

1. Умножим числители: \( 5 \cdot 4a = 20a \)
2. Умножим знаменатели: \( 6a^2 \cdot 15b = 90a^2b \)
3. Получим дробь: \( \frac{20a}{90a^2b} \)
4. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на \( 10a \): \( \frac{20a}{90a^2b} = \frac{2}{9ab} \)

Ответ: \( \frac{2}{9ab} \)

е)

\( \frac{34yz}{x^3} \cdot \frac{x^2}{17y} \)

Умножим дроби:

1. Умножим числители: \( 34yz \cdot x^2 = 34x^2yz \)
2. Умножим знаменатели: \( x^3 \cdot 17y = 17x^3y \)
3. Получим дробь: \( \frac{34x^2yz}{17x^3y} \)
4. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на \( 17x^2y \): \( \frac{34x^2yz}{17x^3y} = \frac{2z}{x} \)

Ответ: \( \frac{2z}{x} \)