341. Решить уравнения: 1) $\log_7(x-1)\log_7 x=\log_7 x$; 2) $\log_{1/3}x\log_{1/3}(3x-2)=\log_{1/3}(3x-2)$; 3) $\log_2(3x+1)\log_3 x=2\log_2(3x+1)$; 4) $\log_{\sqrt3}(x-2)\log_5 x=2\log_3(x-2)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 341. Решить уравнения: 1) $\log_7(x-1)\log_7 x=\log_7 x$; 2) $\log_{1/3}x\log_{1/3}(3x-2)=\log_{1/3}(3x-2)$; 3)…$ Фото задания

341. Решить уравнения: 1) $\log_7(x-1)\log_7 x=\log_7 x$; 2) $\log_{1/3}x\log_{1/3}(3x-2)=\log_{1/3}(3x-2)$; 3) $\log_2(3x+1)\log_3 x=2\log_2(3x+1)$; 4) $\log_{\sqrt3}(x-2)\log_5 x=2\log_3(x-2)$.

Accepted Answer

1) ОДЗ: $x>1$. Вынесем общий множитель: $\log_7 x\bigl(\log_7(x-1)-1\bigr)=0$. Первый множитель обращается в ноль при $x=1$, что не входит в ОДЗ. Второй даёт $\log_7(x-1)=1$, значит, $x-1=7$, откуда $x=8$.

2) ОДЗ: $x>\frac23$. Переносим правую часть влево и выносим общий множитель: $\log_{1/3}(3x-2)\bigl(\log_{1/3}x-1\bigr)=0$. Из первого множителя получаем $3x-2=1$, то есть $x=1$. Из второго — $x=\frac13$, но это значение не входит в ОДЗ. Остаётся $x=1$.

3) ОДЗ: $x>0$. Выносим общий множитель: $\log_2(3x+1)(\log_3 x-2)=0$. Уравнение $\log_2(3x+1)=0$ даёт $x=0$, что не входит в ОДЗ. Из $\log_3x=2$ получаем $x=9$.

4) ОДЗ: $x>2$. Используем $\log_{\sqrt3}(x-2)=2\log_3(x-2)$:

$2\log_3(x-2)\log_5x=2\log_3(x-2)$,
$2\log_3(x-2)(\log_5x-1)=0$.

Первый множитель даёт $x-2=1$, то есть $x=3$. Второй даёт $x=5$. Оба значения входят в ОДЗ.

Ответ: 1) 8; 2) 1; 3) 9; 4) 3, 5.

341. Решить уравнения: 1) \(\log_7(x-1)\log_7 x=\log_7 x\); 2) \(\log_{1/3}x\log_{1/3}(3x-2)=\log_{1/3}(3x-2)\); 3) \(\log_2(3x+1)\log_3 x=2\log_2(3x+1)\); 4) \(\log_{\sqrt3}(x-2)\log_5 x=2\log_3(x-2)\).

Ответ: