345. На рисунке 317 CH = 12, BH • HK = 108. Найдите CN.

Решение:

На рисунке 317 изображён треугольник ABC. BK — высота, проведенная из вершины B к стороне AC. CH — высота, проведенная из вершины C к стороне AB. H — точка пересечения высот (ортоцентр).

Дано: CH = 12, BH ⋅ HK = 108. Нужно найти CN. N — это точка на AB, такая что CN перпендикулярна AB. То есть CN — это высота из вершины C.

Из условия задачи, CH = 12. Это означает, что расстояние от точки C до прямой AB равно 12. CN — это другая высота из вершины C. Если CH — это высота, проведенная к AB, то CN — это также высота, проведенная к AB. Следовательно, CN = CH.

Также в задаче дано BH ⋅ HK = 108. HK — это отрезок высоты BK от точки K (на AC) до точки H (ортоцентр). BH — это отрезок высоты BK от вершины B до точки H.

По свойству высот в треугольнике, точка H является ортоцентром. Высоты в треугольнике пересекаются в одной точке. BK и CH — две высоты.

Если CN — это высота из C, и CH — это высота из C, то CN = CH.

Ответ: CN = 12.