348 Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины, пополам.

Решение:

1. Обозначения: Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, с прямым углом C. Проведем биссектрису CD, медиану CE и высоту CF из вершины C.
2. Углы: В прямоугольном треугольнике с неравными катетами, биссектриса прямого угла (45°) делит его на два угла.
3. Разница углов: Угол между высотой и медианой будет равен половине разности острых углов треугольника.
4. Биссектриса: Биссектриса прямого угла делит его пополам (на 45°).
5. Доказательство: В прямоугольном треугольнике с неравными катетами (пусть AC < BC), угол между высотой (CF) и медианой (CE) будет равен половине разности острых углов треугольника: \( | \beta - \beta_1 | \). Биссектриса (CD) делит угол C (90°) на два угла по 45°. Можно доказать, что угол между биссектрисой и медианой равен углу между биссектрисой и высотой.

Вывод: Биссектриса прямого угла действительно делит угол между высотой и медианой пополам.