348 Две окружности с центрами О1 и О2 вписаны в угол. Одна из них касается его сторон в точках А и D, а вторая — в точках В и С. Докажите, что АВ = CD.

Пусть угол равен 2α. Расстояния от вершин угла до точек касания равны. Для первой окружности расстояние от вершины угла до А и D равно x. Для второй окружности расстояние от вершины угла до В и С равно y. Так как окружности вписаны в угол, то O1A ⊥ AD и O2B ⊥ BC. В прямоугольных треугольниках O1XA и O2YB (где X и Y — вершины угла), sin(α) = r1/O1X и sin(α) = r2/O2Y. Если центры окружностей лежат на биссектрисе угла, то O1X = O2Y. Следовательно, r1 = r2, и окружности идентичны. Если окружности имеют одинаковый радиус, то расстояния от вершины угла до точек касания будут одинаковыми. Таким образом, если первая окружность касается сторон в точках А и D, а вторая в В и С, и радиусы равны, то расстояние от вершины угла до А равно расстоянию от вершины угла до В. Следовательно, AB = CD.