35. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Биссектриса угла AOD пересекает сторону AD в её середине. Докажите, что ABCD — прямоугольник.

Обозначим через M середину AD. Поскольку OM — биссектриса угла AOD, по теореме о биссектрисе треугольника AOD:

AM/MD = AO/OD.

Точка M — середина AD, поэтому AM = MD и AM/MD = 1. Следовательно, AO = OD.

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам: AO = OC и BO = OD. Значит, AC = 2AO и BD = 2OD, откуда AC = BD.

Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником. Следовательно, ABCD — прямоугольник.