35. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Пусть \(AD\) — биссектриса треугольника \(ABC\), где точка \(D\) лежит на стороне \(BC\). Требуется доказать, что \(BD:DC=AB:AC\).

1. Треугольники \(ABD\) и \(ACD\) имеют основания \(BD\) и \(DC\) на одной прямой и общую высоту, опущенную из \(A\) на прямую \(BC\). Поэтому \(S_{ABD}:S_{ACD}=BD:DC\).

2. По формуле площади через две стороны и угол между ними: \(S_{ABD}=\frac12 AB\cdot AD\cdot\sin\angle BAD\), \(S_{ACD}=\frac12 AC\cdot AD\cdot\sin\angle DAC\).

3. Так как \(AD\) — биссектриса, \(\angle BAD=\angle DAC\). Следовательно, \(S_{ABD}:S_{ACD}=AB:AC\).

4. Приравнивая два выражения для отношения площадей, получаем \(BD:DC=AB:AC\).

Что и требовалось доказать.