35. Докажите теорему Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Обозначим последовательные точки на первой прямой через \(A_1,A_2,A_3,\ldots\), а точки пересечения параллельных прямых со второй прямой — через \(B_1,B_2,B_3,\ldots\). По условию \(A_1A_2=A_2A_3=\ldots\). Докажем, что \(B_1B_2=B_2B_3=\ldots\).

Если исходные прямые параллельны, то для каждого соседнего промежутка четырёхугольники, образованные двумя параллельными прямыми и отрезками на исходных прямых, — параллелограммы. Поэтому соответствующие противоположные стороны равны: \(B_1B_2=A_1A_2\), \(B_2B_3=A_2A_3\) и так далее. Следовательно, отрезки на второй прямой равны.

Если исходные прямые пересекаются, пусть они пересекаются в точке \(O\). Поскольку прямые \(A_iB_i\) параллельны, треугольники с вершиной \(O\), основаниями на первой и второй прямых и соответствующими сторонами на параллельных прямых подобны. Значит, для некоторого постоянного коэффициента \(k\) длины соответствующих отрезков на двух прямых связаны пропорцией: \(B_iB_{i+1}=k\cdot A_iA_{i+1}\). Коэффициент одинаков для всех соседних пар, поскольку направление параллельных прямых одно и то же.

Так как \(A_iA_{i+1}=A_{i+1}A_{i+2}\), то \(k\cdot A_iA_{i+1}=k\cdot A_{i+1}A_{i+2}\), откуда \(B_iB_{i+1}=B_{i+1}B_{i+2}\). Значит, все последовательные отрезки на второй прямой равны.

Что и требовалось доказать.