35. Докажите тождества: а) \((A\mathbin{\triangle}B)\mathbin{\triangle}C=A\mathbin{\triangle}(B\mathbin{\triangle}C)\); б) \((A\setminus B)\setminus C=A\setminus(B\cup C)\); в) \((A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup(B\setminus C)\); г) \((A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap(B\setminus C)\).

Докажем равенства по принадлежности произвольного элемента \(x\).

1. Для симметрической разности \(x\in X\mathbin{\triangle}Y\), если элемент принадлежит ровно одному из множеств \(X\) и \(Y\). Поэтому принадлежность левой и правой частей определяется операцией «исключающее ИЛИ»:

   \[((x\in A)\mathbin{\mathrm{XOR}}(x\in B))\mathbin{\mathrm{XOR}}(x\in C)=(x\in A)\mathbin{\mathrm{XOR}}((x\in B)\mathbin{\mathrm{XOR}}(x\in C)).\]

   Исключающее ИЛИ ассоциативно, следовательно, \((A\mathbin{\triangle}B)\mathbin{\triangle}C=A\mathbin{\triangle}(B\mathbin{\triangle}C)\).

2. \[\begin{aligned}x\in(A\setminus B)\setminus C&\Longleftrightarrow x\in A,\ x\notin B,\ x\notin C\\&\Longleftrightarrow x\in A,\ x\notin(B\cup C)\\&\Longleftrightarrow x\in A\setminus(B\cup C).\end{aligned}\]

   Следовательно, \((A\setminus B)\setminus C=A\setminus(B\cup C)\).

3. \[\begin{aligned}x\in(A\cup B)\setminus C&\Longleftrightarrow (x\in A\ \text{или}\ x\in B)\text{ и }x\notin C\\&\Longleftrightarrow (x\in A\text{ и }x\notin C)\ \text{или}\ (x\in B\text{ и }x\notin C)\\&\Longleftrightarrow x\in(A\setminus C)\cup(B\setminus C).\end{aligned}\]

   Следовательно, \((A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup(B\setminus C)\).

4. \[\begin{aligned}x\in(A\cap B)\setminus C&\Longleftrightarrow x\in A,\ x\in B,\ x\notin C\\&\Longleftrightarrow (x\in A\text{ и }x\notin C)\text{ и }(x\in B\text{ и }x\notin C)\\&\Longleftrightarrow x\in(A\setminus C)\cap(B\setminus C).\end{aligned}\]

   Следовательно, \((A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap(B\setminus C)\).

Ответ: все четыре равенства являются тождествами.