35. Если две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, то медиана, проведённая к третьей стороне, может быть равна: 1) 7 см; 2) 6 см; 3) 8 см; 4) 10 см.

Для решения этой задачи воспользуемся неравенством треугольника для медианы. Медиана, проведённая к третьей стороне, должна быть меньше полусуммы двух других сторон и больше полуразности этих сторон.

Пусть стороны равны a = 6 см и b = 8 см, а медиана к третьей стороне m_c. Третья сторона c может быть любой, но медиана m_c связана с длинами сторон формулой:

\( m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \)

Из условия задачи, стороны равны 6 и 8. Медиана проведена к третьей стороне. Неравенство треугольника для сторон, где медиана является одной из сторон (хотя это и не совсем верно, но помогает оценить диапазон):

\( |a - b| < c < a + b \)

\( |6 - 8| < c < 6 + 8 \)

\( 2 < c < 14 \)

Теперь рассмотрим медиану. Если бы третья сторона была очень мала (близка к 0), медиана была бы близка к \( \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 8^2} = \frac{1}{2}\sqrt{72 + 128} = \frac{1}{2}\sqrt{200} \approx \frac{1}{2} \cdot 14.14 = 7.07 \).

Если бы третья сторона была очень велика (близка к 14), медиана была бы близка к 0.

Для медианы справедливы следующие неравенства:

\( \frac{c}{2} < m_a, m_b, m_c < \frac{a+b+c}{2} \) (это не совсем так, но даёт представление).

Более точное условие для медианы:

\( \frac{1}{2} \min(a, b) < m_c < \frac{1}{2}(a+b) \) (Это тоже не совсем точно).

Правильное неравенство для медианы:

\( \frac{c}{2} < m_a < \frac{b+c}{2} \) (где \(m_a\) - медиана к стороне \(a\)).

Для медианы \(m_c\) к стороне \(c\) при заданных сторонах \(a=6\) и \(b=8\) справедливы:

\( \frac{c}{2} < m_c < \frac{a+b}{2} \)

\( \frac{c}{2} < m_c < \frac{6+8}{2} \)

\( \frac{c}{2} < m_c < 7 \)

Учитывая \( 2 < c < 14 \):

Минимальное значение \( m_c \) (при \(c \to 2\)) будет близко к \( 2/2 = 1 \).

Максимальное значение \( m_c \) (при \(c \to 14\)) будет близко к \( 14/2 = 7 \).

Однако, это не учитывает формулу медианы.

Формула длины медианы \(m_c\): \( m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4} \)

\( 4m_c^2 = 2(6^2) + 2(8^2) - c^2 \)

\( 4m_c^2 = 2(36) + 2(64) - c^2 \)

\( 4m_c^2 = 72 + 128 - c^2 \)

\( 4m_c^2 = 200 - c^2 \)

Так как \( 2 < c < 14 \), то \( 4 < c^2 < 196 \).

\( 200 - 196 < 200 - c^2 < 200 - 4 \)

\( 4 < 4m_c^2 < 196 \)

Делим на 4:

\( 1 < m_c^2 < 49 \)

Извлекаем корень:

\( 1 < m_c < 7 \)

Таким образом, медиана может быть равна любому значению в интервале \( (1, 7) \).

Среди предложенных вариантов:

1. 7 см — не подходит, так как \(m_c < 7\).
2. 6 см — подходит, так как \( 1 < 6 < 7 \).
3. 8 см — не подходит, так как \(m_c < 7\).
4. 10 см — не подходит, так как \(m_c < 7\).

Ответ: 6 см