35. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

Решение:

Чтобы представить трехчлен в виде квадрата двучлена, нужно разложить его на множители, используя формулы квадрата суммы или разности:

• Квадрат суммы: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
• Квадрат разности: \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

а) \( a^2 - 10a + 25 \)

Здесь \( a^2 \) — квадрат первого члена, \( 25 = 5^2 \) — квадрат второго члена. Средний член \( -10a = -2 \cdot a \cdot 5 \). Следовательно, это квадрат разности:

\( a^2 - 10a + 25 = (a - 5)^2 \)

б) \( 16x^2 + 8x + 1 \)

Здесь \( 16x^2 = (4x)^2 \) — квадрат первого члена, \( 1 = 1^2 \) — квадрат второго члена. Средний член \( 8x = 2 \cdot 4x \cdot 1 \). Следовательно, это квадрат суммы:

\( 16x^2 + 8x + 1 = (4x + 1)^2 \)

в) \( 40ab + 16a^2 + 25b^2 \)

Перепишем в порядке убывания степеней \( a \): \( 16a^2 + 40ab + 25b^2 \). Здесь \( 16a^2 = (4a)^2 \) — квадрат первого члена, \( 25b^2 = (5b)^2 \) — квадрат второго члена. Средний член \( 40ab = 2 \cdot 4a \cdot 5b \). Следовательно, это квадрат суммы:

\( 16a^2 + 40ab + 25b^2 = (4a + 5b)^2 \)

г) \( m^8 + 4n^2 - 4m^4n \)

Перепишем в порядке убывания степеней \( m \): \( m^8 - 4m^4n + 4n^2 \). Здесь \( m^8 = (m^4)^2 \) — квадрат первого члена, \( 4n^2 = (2n)^2 \) — квадрат второго члена. Средний член \( -4m^4n = -2 \cdot m^4 \cdot 2n \). Следовательно, это квадрат разности:

\( m^8 - 4m^4n + 4n^2 = (m^4 - 2n)^2 \)

Ответ: а) \( (a - 5)^2 \); б) \( (4x + 1)^2 \); в) \( (4a + 5b)^2 \); г) \( (m^4 - 2n)^2 \).