35. Решите уравнение: а) 14x² − 5x − 1 = 0; б) −y² + 3y + 5 = 0; в) 2x² + x + 67 = 0; г) 1 − 18p + 81p² = 0; д) −11y + y² − 152 = 0; е) 18 + 3x² − x = 0.

Для квадратных уравнений используем дискриминант: если он положителен, корни находятся по формуле \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\); если отрицателен, действительных корней нет.

1. а) \(D=(-5)^2-4\cdot14\cdot(-1)=81\). Тогда \(x=\frac{5\pm9}{28}\), откуда \(x_1=\frac12\), \(x_2=-\frac17\).
2. б) Умножим уравнение на \(-1\): \(y^2-3y-5=0\). \(D=9+20=29\), поэтому \(y_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{29}}{2}\).
3. в) \(D=1-4\cdot2\cdot67=-535<0\). Действительных корней нет.
4. г) \(1-18p+81p^2=(9p-1)^2=0\), поэтому \(p=\frac19\) — двукратный корень.
5. д) Запишем уравнение как \(y^2-11y-152=0\). \(D=121+608=729\), поэтому \(y=\frac{11\pm27}{2}\). Корни: \(y_1=19\), \(y_2=-8\).
6. е) Запишем уравнение как \(3x^2-x+18=0\). \(D=(-1)^2-4\cdot3\cdot18=-215<0\). Действительных корней нет.

Ответ: а) \(\frac12; -\frac17\); б) \(\frac{3+\sqrt{29}}2; \frac{3-\sqrt{29}}2\); в) действительных корней нет; г) \(\frac19\); д) 19; −8; е) действительных корней нет.