35. Сократите дроби: а) (x² − 4)/(x² − 2x); б) (3y² + 24y)/(y² + 18y + 81); в) (a² + a + 1)/(a² − 1); г) (b + 2)/(b³ + 8).

Разложим на множители числитель и знаменатель: \(\dfrac{x^2-4}{x^2-2x}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}\). Сокращаем общий множитель, учитывая исходные ограничения: \(x\ne0,\;x\ne2\).

Ответ: \(\dfrac{x+2}{x}\), при \(x\ne0,2\).

Разложим на множители: \(\dfrac{3y^2+24y}{y^2+18y+81}=\dfrac{3y(y+8)}{(y+9)^2}\). Общих множителей нет; знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому \(y\ne-9\).

Ответ: \(\dfrac{3y(y+8)}{(y+9)^2}\), при \(y\ne-9\).

Знаменатель раскладывается как \(a^2-1=(a-1)(a+1)\). Числитель \(a^2+a+1\) общего множителя со знаменателем не имеет. Следовательно, сократить дробь нельзя; \(a\ne\pm1\).

Ответ: дробь не сокращается.

Используем формулу суммы кубов: \(b^3+8=(b+2)(b^2-2b+4)\). Тогда \(\dfrac{b+2}{b^3+8}=\dfrac{1}{b^2-2b+4}\) при условии \(b\ne-2\), поскольку в исходной дроби знаменатель не равен нулю.

Ответ: \(\dfrac{1}{b^2-2b+4}\), при \(b\ne-2\).