35. Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.

Данное утверждение в такой формулировке неверно.

Пусть основания трапеции равны \(a\) и \(b\), а её высота равна \(h\). Отрезок, соединяющий середины оснований, перпендикулярен основаниям и имеет длину \(h\).

Возьмём трапецию с высотой \(h=1\), углами при большем основании \(30^\circ\) и \(60^\circ\), так что их сумма равна \(90^\circ\). Горизонтальные проекции боковых сторон равны \(\sqrt3\) и \(\frac1{\sqrt3}\), поэтому разность оснований равна \[a-b=\sqrt3+\frac1{\sqrt3}=\frac{4}{\sqrt3}.\]

Тогда полуразность оснований равна \[\frac{a-b}{2}=\frac2{\sqrt3},\] а отрезок между серединами оснований равен высоте \(h=1\). Эти величины не равны.

Следовательно, в условии, вероятно, имеется опечатка или пропущено дополнительное условие.

Ответ: доказать утверждение невозможно, так как оно неверно в общем случае.