35. Упростите выражение: 1) ((a − 2)/(a + 2) − (a + 2)/(a − 2)) : (12a²/(4 − a²)); 2) (8x/(x − 2) + 2x) : ((4x + 8)/(7x − 14)); 3) 5a/(a + 3) + ((a − 6)/(3a + 9)) · (135/(6a − a²)); 4) (3m/(m + 5) − 8m/(m² + 10m + 25)) : ((3m + 7)/(m² − 25)) + (5m − 25)/(m + 5); 5) (y²/(x³ − xy²) + 1/(x + y)) : ((x − y)/(x² + xy) − x/(xy + y²)); 6) (a/(a − 4) − a/(a + 4) − (a² + 16)/(16 − a²)) : ((4a + a²)/(4 − a)²).

Question

Вопрос:

Фото задания

35. Упростите выражение: 1) ((a − 2)/(a + 2) − (a + 2)/(a − 2)) : (12a²/(4 − a²)); 2) (8x/(x − 2) + 2x) : ((4x + 8)/(7x − 14)); 3) 5a/(a + 3) + ((a − 6)/(3a + 9)) · (135/(6a − a²)); 4) (3m/(m + 5) − 8m/(m² + 10m + 25)) : ((3m + 7)/(m² − 25)) + (5m − 25)/(m + 5); 5) (y²/(x³ − xy²) + 1/(x + y)) : ((x − y)/(x² + xy) − x/(xy + y²)); 6) (a/(a − 4) − a/(a + 4) − (a² + 16)/(16 − a²)) : ((4a + a²)/(4 − a)²).

Accepted Answer

Приведём разность в скобках к общему знаменателю:
\(\dfrac{a-2}{a+2}-\dfrac{a+2}{a-2}=\dfrac{(a-2)^2-(a+2)^2}{a^2-4}=\dfrac{-8a}{a^2-4}.\)
Деление заменяем умножением на обратную дробь:
\(\dfrac{-8a}{a^2-4}\cdot\dfrac{4-a^2}{12a^2}=\dfrac{2}{3a}.\)
Исходное выражение определено при \(a\ne -2,0,2\).
Упростим обе части деления:
\(\dfrac{8x}{x-2}+2x=\dfrac{8x+2x(x-2)}{x-2}=\dfrac{2x(x+2)}{x-2},\qquad \dfrac{4x+8}{7x-14}=\dfrac{4(x+2)}{7(x-2)}.\)
Тогда
\(\dfrac{2x(x+2)}{x-2}\cdot\dfrac{7(x-2)}{4(x+2)}=\dfrac{7x}{2}.\)
Ограничения исходного выражения: \(x\ne -2,2\).
Разложим знаменатели на множители и упростим произведение:
\(\dfrac{a-6}{3a+9}\cdot\dfrac{135}{6a-a^2}=\dfrac{a-6}{3(a+3)}\cdot\dfrac{135}{a(6-a)}=-\dfrac{45}{a(a+3)}.\)
Сложим с первой дробью:
\(\dfrac{5a}{a+3}-\dfrac{45}{a(a+3)}=\dfrac{5a^2-45}{a(a+3)}=\dfrac{5(a-3)(a+3)}{a(a+3)}=\dfrac{5(a-3)}{a}.\)
Ограничения: \(a\ne -3,0,6\).
Сначала упростим выражение в первых скобках:
\(\dfrac{3m}{m+5}-\dfrac{8m}{(m+5)^2}=\dfrac{3m(m+5)-8m}{(m+5)^2}=\dfrac{m(3m+7)}{(m+5)^2}.\)
Выполним деление, затем сложение:
\(\dfrac{m(3m+7)}{(m+5)^2}\cdot\dfrac{m^2-25}{3m+7}=\dfrac{m(m-5)}{m+5},\qquad \dfrac{5m-25}{m+5}=\dfrac{5(m-5)}{m+5}.\)
\(\dfrac{m(m-5)}{m+5}+\dfrac{5(m-5)}{m+5}=m-5.\)
Ограничения: \(m\ne -5,5,-\dfrac{7}{3}\).
Обозначим \(Q=x^2-xy+y^2\). Упростим каждую скобку:
\(\dfrac{y^2}{x^3-xy^2}+\dfrac{1}{x+y}=\dfrac{y^2+x(x-y)}{x(x-y)(x+y)}=\dfrac{Q}{x(x-y)(x+y)}.\)
\(\dfrac{x-y}{x^2+xy}-\dfrac{x}{xy+y^2}=\dfrac{y(x-y)-x^2}{xy(x+y)}=-\dfrac{Q}{xy(x+y)}.\)
Делим первую скобку на вторую:
\(\dfrac{Q}{x(x-y)(x+y)}\cdot\dfrac{-xy(x+y)}{Q}=-\dfrac{y}{x-y}.\)
Ограничения: \(x\ne0,\ y\ne0,\ x\ne y,\ x\ne -y\).
Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
\(\dfrac{a}{a-4}-\dfrac{a}{a+4}-\dfrac{a^2+16}{16-a^2}=\dfrac{8a+a^2+16}{a^2-16}=\dfrac{(a+4)^2}{(a-4)(a+4)}=\dfrac{a+4}{a-4}.\)
Теперь разделим:
\(\dfrac{a+4}{a-4}\cdot\dfrac{(4-a)^2}{4a+a^2}=\dfrac{a+4}{a-4}\cdot\dfrac{(a-4)^2}{a(a+4)}=\dfrac{a-4}{a}.\)
Ограничения: \(a\ne -4,0,4\).

Ответ: