35. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB=6, AD=8, AA₁=21. Найдите синус угла между прямыми AD₁ и AC.

Введём координаты: \(A(0,0,0)\), \(C(6,8,0)\), \(D_1(0,8,21)\).

Тогда направляющие векторы прямых:

\(\overrightarrow{AD_1}=(0,8,21)\), \(\overrightarrow{AC}=(6,8,0)\).

Скалярное произведение:

\(\overrightarrow{AD_1}\cdot\overrightarrow{AC}=0\cdot6+8\cdot8+21\cdot0=64\).

Длины векторов:

\(|AD_1|=\sqrt{8^2+21^2}=\sqrt{505}\), \(|AC|=\sqrt{6^2+8^2}=10\).

Следовательно,

\(\cos\alpha=\frac{64}{10\sqrt{505}}\).

Используем формулу \(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha\):

\(\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{64^2}{10^2\cdot505}}=\sqrt{1-\frac{4096}{50500}}=\sqrt{\frac{46404}{50500}}=\frac{6\sqrt{1289}}{5\sqrt{505}}\).

Ответ: \(\sin\alpha=\frac{6\sqrt{1289}}{5\sqrt{505}}\).