353. На доске написаны числа 1, 2, 3, ... 101. Разрешается стереть любые два числа и написать их разность. Повторив эту операцию 100 раз, мы получим одно число. Докажите, что это число не может быть равным 0.

Рассмотрим сумму всех чисел на доске по модулю 2.

1. Изначально сумма равна \(1 + 2 + 3 + \dots + 101 = \frac{101 \cdot 102}{2} = 5151\), то есть является нечётной.
2. Пусть стираются числа \(a\) и \(b\), а вместо них записывается их разность. Если берётся разность большего и меньшего, то новая сумма уменьшается на \(a+b-|a-b| = 2\min(a,b)\), то есть на чётное число.
3. Поэтому чётность суммы после каждой операции сохраняется.
4. После 100 операций останется одно число, и оно будет нечётным, поскольку исходная сумма была нечётной.
5. Ноль — чётное число, поэтому оставшееся число не может быть равно нулю.

Ответ: полученное число не может быть равным 0.