355 Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, если ОАВ = 30°, АВ = 5 см. Скачан с vk.com/mat

Решение:

• Дано: AB и AC — касательные к окружности в точках B и C.
• \[ \angle OAB = 30^{\circ} \]
• \[ AB = 5 \text{ см} \]
• Найти: BC

Объяснение:

1. Так как AB — касательная к окружности в точке B, то радиус OB перпендикулярен касательной AB. Следовательно, \[ \angle OBA = 90^{\circ} \].
2. В треугольнике OAB, \[ \angle AOB = 180^{\circ} - \angle OBA - \angle OAB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \].
3. Аналогично, так как AC — касательная к окружности в точке C, то радиус OC перпендикулярен касательной AC. Следовательно, \[ \angle OCA = 90^{\circ} \].
4. Так как OB и OC — радиусы окружности, то OB = OC.
5. Треугольник OBC — равнобедренный.
6. Рассмотрим △ ABC. Так как AB и AC — касательные, проведенные из одной точки A, то AB = AC = 5 см.
7. △ ABC — равнобедренный с основанием BC.
8. △ OAB и △ OAC являются прямоугольными треугольниками. OB = OC (радиусы), OA — общая гипотенуза. Следовательно, △ OAB = △ OAC по гипотенузе и катету.
9. Отсюда △ ABC — равнобедренный, значит, △ OBC — равнобедренный.
10. △ AOB = △ AOC.
11. △ ABC = △ ACB.
12. В △ ABC △ A = 2 △ OAB, но это неверно.
13. В △ OAB, △ OAB = 30°, △ OBA = 90°, △ AOB = 60°.
14. △ ABC — равнобедренный. △ OAB = 30°, △ OBA = 90°.
15. △ OAC = 30°, △ OCA = 90°.
16. △ BAC = △ OAB + △ OAC = 30° + 30° = 60°.
17. В △ ABC △ BAC = 60°. Так как △ ABC равнобедренный (AB=AC), то △ ABC = △ ACB = (180° - 60°)/2 = 60°.
18. Таким образом, △ ABC — равносторонний.
19. Следовательно, BC = AB = AC = 5 см.

Ответ: 5 см